Banach uzaylarının tensör çarpım teorisi aracılığıyla kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için yeni bir yaklaşım - Bahar, Gülay (Bursa Teknik Üniversitesi, 2025)
Bu çalışmada, birinci ve ikinci mertebeden, değişkenlerine doğrudan ayrılamayan, homojen olmayan ve lineer yapıda kısmi türevli diferansiyel denklemler (KTDD) için alternatif ve sistematik bir çözüm yöntemi geliştirilmiştir. Temel yaklaşım, çözümün ayrılabilir formda varsayılması, yani u(x,y)=P(x)Q(y) şeklinde ifade edilmesi ve bu varsayımın ilgili diferansiyel denklemlere uygulanarak tensör çarpım biçiminde yeniden yazılmasıdır. Tensör çarpım yapısı sayesinde her terim, yalnızca bir değişkene bağlı fonksiyonların çarpımı şeklinde ele alınabilmekte ve böylece çözüm süreci sadeleştirilerek analiz edilebilir hale gelmektedir. Tez kapsamında sunulan yöntem, elde edilen denklemleri atomik çözümlere indirgeme fikrine dayanmaktadır. Bu bağlamda, hem x e hem de y ye bağlı bileşenlerin sabitlenmesiyle elde edilen iki temel çözüm senaryosu (Durum i ve Durum ii) sistematik şekilde incelenmiştir. Her bir örnek üzerinden elde edilen adi diferansiyel denklemler klasik çözüm yöntemleriyle çözülmüş, atomik çözümlerin var olup olmadığı değerlendirilmiştir. Çalışmanın sonucunda, geliştirilen yaklaşımın klasik ayırma yöntemlerinin yetersiz kaldığı durumlarda dahi etkin çözümler sunabildiği gösterilmiştir. Ayrıca, elde edilen çözüm yapılarının başlangıç koşulları ile tutarlılığı ayrıntılı biçimde incelenmiş ve yalnızca bazı durumlar için atomik çözümün mümkün olduğu ortaya konmuştur. Geliştirilen yöntem, hem teorik hem uygulamalı açıdan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde güçlü bir alternatif olarak değerlendirilmektedir.

In this paper, an alternative and systematic solution method is developed for first and second order partial differential equations (PDEs) that are not directly separable into their variables, inhomogeneous and linear in nature. The basic approach is to assume the solution in separable form, i.e. u(x,y)=P(x)Q(y), and to rewrite this assumption in tensor product form by applying it to the corresponding differential equations. Thanks to the tensor product structure, each term can be treated as the product of functions depending on only one variable and thus the solution process can be simplified and analyzed. The method presented in this thesis is based on the idea of reducing the obtained equations to atomic solutions. In this context, two basic solution scenarios (Case i and Case ii) obtained by fixing the components depending on both x and y are systematically analyzed. The ordinary differential equations obtained from each case are solved by classical solution methods and the existence of atomic solutions is evaluated. As a result of the study, it is shown that the developed approach can provide effective solutions even in cases where classical separation methods are insufficient. Moreover, the consistency of the obtained solution structures with the initial conditions is analyzed in detail and it is shown that atomic solution is possible only for some cases. The developed method is shown to be a powerful alternative for solving partial differential equations from both theoretical and applied point of view.
A new approach to solving partial differential equations using tensor product theory of banach spaces
Keywords: Matematik; Mathematics